כאוס

להורדת הפרק – קישור.

להאזנה ב-itunes – קישור.

לצפייה ב-youtube – קישור.

תמונה ראשית: אינה קפרובסקי, ללא שם. קישור לעמוד העבודות של אינה – קישור.

כאוס. רובנו שמענו על "תורת הכאוס", על "אפקט הפרפר", אולי אפילו על "דינמיקה כאוטית". אך מה כל זה אומר? ואיך זה משפיע לא רק על תנועת הכוכבים, אלא גם יכול לעזור לנו להבין מלחמות, את הזירה הבינלאומית ומזג האוויר? בפרקים הקרובים נדבר על כאוס, על מערכות שלא ניתנות לחיזוי ואיך הקונספטים האלה צריכים להשפיע כל חשיבה שלנו על מערכות מורכבות. בואו נתחיל.

אני רוצה לפתוח בדברי הרגעה: חברים, הכול בסדר. המשחק הגדול לא הופך לפודקסט מדע, טכנולוגיה או "קוסמו-פוליטיקה". ביני לביני גם היססתי אם להתעסק בכלל בנושאים שעבורי הם נושאים חשובים בחשיבה שלי: כאוס, אקראיות, שבירות ואנטי-שבירות. אלו לא נושאים טריוויאליים וגם ההבנה שלי בהם היא במקרה הטוב חלקית.

אז למה בכל זאת לדבר עליהם? כי הם חשובים. הם חשובים לכל מי שרוצה להבין ולפעול בעולם המורכב שלנו ולא משנה אם הוא מנסה להבין את הזירה הבינלאומית, להשקיע במניות בשוק או לתקן ולשפר את החברה שלנו.

הרעיונות שאציג הם לא אינטואיטיביים בשמיעה ראשונה, אך ברגע שמבינים אותם הם כאילו מרימים "מסך" מעל העולם. הכול נראה לפתע ברור יותר, מובן יותר, גם אם צפוי פחות.

הנושא שאיתו נפתח את הדיון שלנו הוא הנושא של "תורת הכאוס", של סדר שנראה כמו אי-סדר ומדוע החשיבה שאנו יכולים לחזות ולסדר את העולם סביבנו היא שגויה, שגויה מאוד.

השד של לפלס

בשביל להבין מהו בכלל "כאוס" ומה החשיבות שלו, אנחנו צריכים ללכת אחורה, הרבה אחורה. למרות שאנו אולי לא יודעים זאת, רוב מה שאנו חושבים על העולם החברתי, אם על הצד הכלכלי, הפוליטי או התרבותי שלו, נובע מתפיסת עולם ששורשיה באירופה של המאה ה-16 ושבכלל התחילה במדעים המדויקים. אני כאן אקרא לה "ההשקפה המכניסטית", בשביל לא לסבך אותנו בשמות.

ההשקפה המכניסטית ראתה בעולם מנגנון ענק, כמו שעון בעל גלגלי שיניים רבים, הנשלט ע"י מספר קטן של חוקים אוניברסאליים. היא הניחה שכל דבר ביקום –הפלנטות במערכת השמש או האנשים בחברה – ניתנים להתייחסות כיחידות נפרדות המבצעות פעולות גומלין – אינטראקציות – אחת עם השנייה. היא הניחה שהתנהגות המערכות המורכבות הללו, דוגמת החברה או מערכת השמש, היא בסה"כ הסכום של כול אותן אינטראקציות בין הגופים השונים. על-פי ההשקפה המכניסטית אם רק נדע את החוקים של המערכת ונמדוד אותה, נוכל לחזות בדיוק את עתידה.

בשביל להמחיש את הדברים, חשבו על הטענה הבאה: ישראל צריכה לעצור את הזרמת המים לירדן, עד שזו תאשר מחדש את הנספחים להסכם השלום. הטענה הזו מסתכלת על העולם בצורה מכניסטית צרה: יש לי בעיה – ירדן לא אישרה מחדש את הנספחים להסכם השלום. הפתרון – ללחוץ על ירדן שתאשר. הטענה לא לוקחת בחשבון שמניעת מים מירדן עלולה להשפיע עלינו בחזיתות אחרות: יציבות הגבול עם ירדן, ההתפשטות האיראנית, התחזקות גורמים איסלמיסטים, הזירה הפלשתינית ועוד. אי אפשר להתייחס רק לירדן ורק בהקשר להסכם השלום.

אחד האנשים החשובים בתפיסה המכניסטית היה אייזק ניוטון (או אולי "איזק", אם התיאוריה שהוא מצאצאי האנוסים נכונה). בשנת 1687 ניוטון פרסם עבודה שתהיה הבסיס לפיזיקה עד ימיו של אנשטיין: "עקרונות מתמטיים של פילוסופית הטבע". ניוטון הראה לראשונה שהיקום כולו, מתפוח הנופל מן העץ עד כדור הארץ הנע סביב השמש, כפופים לאותם חוקים הניתנים לניסוח מתמטי. מניוטון והלאה מדענים חיפשו לחשוף את אותם חוקים ולנסחם בצורה מתמטית, מונעים ע"י אמונה שהעולם הוא באמת רק שעון ענק, מנגנון שאם נבין אותו נוכל לחזות אותו. ב-1814 המלומד הצרפתי פייר סימון לפלס ניסח את האמונה הזו כך [מקור]:

"אנו יכולים להתייחס למצב הנוכחי של היקום כתוצאה של עברו והסיבה לעתידו. אינטלקט שברגע מסוים ידע את כל הכוחות שיש בטבע ושידע את המיקום של כל האובייקטים מהם עשוי הטבע, אם יהיה גדול מספיק בשביל לבצע אנליזה של המידע הזה, יהיה בעל נוסחה אחת שתכלול את התנועה של כל הגופים הגדולים ביקום והאטום הקטן ביותר בו; לאינטלקט כזה דבר לא יהיה לא בטוח והעתיד כמו העבר יהיה מול עיניו".

במילים אחרות לפלס אומר שאם יישות כלשהי, שזכתה לשם הפופולארי "שדו של לפלס", תדע את המיקום של כל החלקיקים והכוחות ביקום, היא תדע מאותו רגע לחזות את עתידו של היקום עד אינסוף. נשמע מדהים לא?

היום, 200 שנה אחרי לפלס, אנו יודעים שההשקפה הזו נאיבית, נאיבית מאוד. אנו גילינו שמתחת לסדר הברור של ניוטון וחוקי המתמטיקה שלו, מסתתר סדר אחר, סדר מוזר – גילינו את תורת הכאוס.

בעיית שלושת הגופים

ההשקפה המכניסטית ובעקבותיה המדע מנסים לבטא את העולם באופן מתמטי, בצורה של משוואות שיתנו לנו לחזות את התנהגות המערכת, אם זו תנועת הכוכבים, הזרימה של נוזל או באיזו מהירות יפגע תפוח שנפל מראש העץ. אם אנחנו יכולים לחזות את ההתנהגות של מערכת, אנו יכולים גם לתכנן מערכות לשימושנו – אם זה מנוף, מנוע רכב או מטוס.

המטרה האולטימטיבית היא למצוא משוואה אחת שתתאר את התנהגות המערכת. לדוגמה, המרחק שעוברת מכונית על כביש ניתן לתאר במשוואה, בה המרחק שווה למכפלה של הזמן במהירות. אם אני יודע לדוגמה את הזמן והמהירות, אני יודע את המרחק. אם אני יודע את המרחק ואת הזמן, אני יכול למצוא את המהירות. המשוואה מאפשרת לי, בהינתן שני נתונים שניתן למדוד (זמן ומהירות, זמן ומרחק, מהירות ומרחק) למצוא את השלישי ולתאר באופן מלא את התנהגות המערכת. הפתרון הזה נקרא פתרון "אנליטי", פתרון שמבוטא ע"י משוואה סגורה.

המערכת הראשונה שניוטון ניסה למצוא לה פתרון בצורת משוואה הייתה התנועה של כוכבי הלכת. ספציפית, ניוטון רצה למצוא משוואה שתתאר את תנועת כדור-הארץ סביב השמש. הוא השתמש בחוקי הכבידה והתנועה שניסח ובפיתוח מתמטי מצא שמסלול כדור הארץ סביב השמש מתואר ע"י משוואה של אליפסה, מה שבאמת בפועל קורה – כדור הארץ נע באליפסה סביב השמש, כשהשמש באחד מקצוות האליפסה. ההתאמה של המשוואה של ניוטון לתצפיות שנעשו בפועל, חיזק את הביטחון בנכונות התיאוריה שלו ובגישה המכניסטית.

זה רק מתאים שהסיפור של "הכאוס", שהפריך את ההשקפה המכניסטית, התחיל גם הוא עם כוכבי השמיים.

הסיפור של תורת הכאוס התחיל עם אוסקר השני, מלך שבדיה. ב-1889 חגג המלך את יום הולדתו ה-60 ובמסגרת החגיגות הכריז על תחרות; ולא סתם תחרות – תחרות שתכריע את גורל מערכת השמש! טוב, אולי טיפה הגזמתי.

אוסקר השני הציע פרס לכל מי שיוכל להוכיח את היציבות של מערכת השמש [מקור]. למה זה עניין את המלך? מפני שבשביל להוכיח את יציבות מערכת השמש, נדרש לפתור – כלומר למצוא משוואה – לבעיה הפיזיקאלית של n גופים שנעים אחד סביב השני, בעיה שאתגרה מתמטיקאים ומדענים מאז שניוטון ניסח את חוק הכבידה שלו. מה הכוונה ב"n גופים"? "n" יכול להיות כל מספר שנרצה. האתגר הוא האם אנו יכולים למצוא משוואות שיתארו את תנועת הגופים ללא קשר למספרם – אם אלו שני גופים, שלושה גופים או מיליון מהם.

לכאורה הבעיה אינה מורכבת. כמו שציינתי כבר ניוטון ב-1687 הצליח לפתור את הבעיה עבור שני גופים – כדור הארץ והשמש – ע"י שימוש בחוק הכבידה שלו. ניוטון מצא את המשוואה שמתארת את מסלול כדור הארץ סביב השמש, מסלול בצורת אליפסה. אם יש פתרון לשני כוכבים – כדור הארץ והשמש – למה שלא יהיה פתרון ליותר משניים?

אחד המתמטיקאים שהתמודד בתחרות של המלך אוסקר היה המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה (Henri Poincaré). אנרי ידידנו חשב בדיוק כמונו – אם יש פתרון לשני גופים, כנראה שיש פתרון גם לשלושה גופים. ואם יש לשלושה, אזי יש לארבעה וכן הלאה. הוא פנה לפתור את הבעיה עבור שלושה גופים, בתקווה שממנה יוכל להכליל עבור n גופים כלשהם.

tbp
בעית שלושת הגופים – כוכב הלכת במרכז, שתי שמשות על ציר X.

פואנקרה אף פישט עוד את הבעיה ובמקום לאפשר לכל שלושת הגופים לנוע, הוא קבע את התנועה של שניים מהם ואפשר רק לשלישי לנוע. מטרתו הייתה למצוא משוואה שתתאר את המסלול של הכוכב השלישי מסביב לשניים הראשונים. אם תרצו, פואנקרה רצה לדעת מה יהיה המסלול של כדור הארץ סביב שתי שמשות.

להפתעתו פואנקרה גילה שלא רק שלבעיה אין פתרון בצורת משוואה סגורה, שתאפשר לו לחזות בכל זמן את מיקום הכוכב, אלא שגם הפתרונות המקורבים הם בעלי שתי תכונות מוזרות: ראשית, המסלול שלוקח הכוכב הוא לעולם לא מחזורי (למעט במקרים מסוימים) ולעולם לא יחזור על אותה נקודה, גם באינסוף זמן. שנית, שינויי קטן בתנאי ההתחלה של הבעיה – מיקום הכוכב, המסה שלו, המהירות – יוצר שינוי משמעותי במסלול שלו. כלומר, גם אם לדוגמה שני כוכבים מתחילים כמעט מאותו מיקום באותה מהירות, לאורך זמן שני המסלולים שלהם יהיו שונים לחלוטין.

המסקנה? אי-אפשר לדעת אם מערכת השמש תהיה יציבה לנצח, או שמא ביום מן הימים כל הכוכבים יעופו ממנה או יתרסקו לשמש. למה? נגיד ואנחנו יודעים עכשיו את המיקום והמהירות של הכוכבים השונים במערכת. כל מדידה שלנו, לא משנה כמה היא מדויקת, מכילה שגיאה. אז אחרי שמצאנו פתרון כלשהו לתנועת המערכת, יש לנו בעצם שתי מערכות שמש: מערכת השמש האמיתית, שמתנהגת על-פי פתרון שבו אין שגיאה ואותו אנחנו לעולם לא נמצא ומערכת השמש שאנחנו חישבנו, שהיא מכילה שגיאה במדידה. לאורך זמן, המסלולים של שתי המערכות ייפרדו זו מזו. במערכת האמיתית לדוגמה נפטון יעוף לחלל החיצון, בעוד שבמערכת שאנחנו מדדנו נפטון יתקדם לעברנו. שתי מערכות, הבדל קטן בערכים התחלתיים, הבדלים משמעותיים בהתנהגות. יכול להיות שמערכת השמש תהיה יציבה לנצח. יכול להיות שהיא תתמוטט לתוך עצמה. יכול להיות שכל הכוכבים יעופו לחלל. אנחנו לא יודעים מעבר לסף זמן מסויים. למה? מפני הרגישות לתנאים ההתחלתיים, הרגישות להבדל בנתונים.

פואנקרה גילה את המערכת הפיזיקאלית הכאוטית הראשונה, אולם ייקח למדע עוד 70 שנה להבין בדיוק מה גילה פואנקרה ומה המשמעות שלו.

חיזוי ואי-לינאריות

פואנקרה גילה שהפתרון לבעית שלושה גופים רגיש מאוד לתנאי ההתחלה. כל שינוי קטן בנתונים – אפילו של אלפית האחוז – יוביל לשינוי דרמטי בתוצאה. וכולנו יודעים שכל מדידה, גם המדויקת ביותר, מכילה שגיאה מעצם טבעה. לכן מפני שהמדידה שלי את מסתם ומהירותם של הכוכבים מכילה שגיאה – הרי שאינני יכול לחזות את מסלולם עד אינסוף זמן. כי בסוף ההתנהגות שלהם תסטה מהתחזית שלי ותעקוב אחר הפתרון האמיתי, הפתרון שאין בו שגיאה ולעולם לא אוכל לגלות מהו.

בשביל לנסות ולהבהיר למה אני מתכוון, בואו וניקח דוגמה מחיי היום-יום שלנו: בסוף חודש אוקטובר החזאים הבטיחו לנו שלארץ תגיע סופת חורף, שתביא שטפונות וברד לחלקים רבים בארץ. בסוף מה שקיבלנו היה ערב חמישי גשום וסופ"ש יבש. מה קרה? איך הם טעו כל-כך? מפני שגם מזג האוויר הוא מערכת כאוטית. החזאים יכולים לנסות ולהעריך את מזג האוויר ברמת ביטחון מוגבלת. החישובים באמת הראו שאמורה להיות סופה, אך מפני שיש שגיאה בנתונים המוכנסים, הפתרון שמחושב שונה מההתנהגות האמיתית של המערכת. המחשב אמר שתהיה סופה, אך מזג אוויר מתנהג אחרת מן המודל. הרגישות הזו לתנאים ההתחלתיים היא אחד המאפיינים החשובים של המערכת הכאוטית.

מכאן, שבמערכות כאוטיות אנו צריכים להיות מאוד זהירים בחיזוי שלנו ובפרק הזמן שאנו טוענים לתחזית. אם אנו רואים מישהו שלא מתחשב בעובדות הללו, הוא כנראה שרלטן. ככה לדוגמה אם מישהו מפחיד אתכם ש"אינטליגנציה מלאכותית תביא לאבטלה מאסיבית", תהיו סקפטים. ולא רק בגלל שלא ברור מה בדיוק הכוונה ב"אינטליגנציה מלאכותית". אלא גם מפני שהשוק הוא מערכת כאוטית, אולי אפילו רנדומאלית, שיכולת החיזוי שלנו אותה היא מוגבלת במקרה הטוב לכמה ימים [מקור]. כשהדובר מדבר על "השפעות האינטליגנציה המלאכותית" הוא בעצם אומר לנו שהוא יכול לא רק להעריך כיצד יראה השוק בעוד עשר או עשרים שנה, אלא גם מה יהיו ההשפעות של תופעה שאיננו מבינים עד הסוף אותה על אותו שוק עתידי. קשקוש.

30212411048_2a1d7200e2_b
אינטיליגנציה מלאכותית – מהפכה משנת עולם, או שאין לנו באמת מושג?

זו גם אחת הסכנות בפתיחה של מלחמות: לעולם אין אנו יודעים כיצד מלחמה יכולה להסתיים. כל בוגר בה"ד 1 יודע ש"המלחמה היא ממלכת אי-הוודאות", אך המלחמה לא רק מושפעת מאירועים רנדומליים – גשם במקום שמש, טנק שמתקלקל באמצע קרב – אלא גם מהאופי הכאוטי שלה. מפני שאינני יודע בדיוק את מצב הכוחות של היריב והמלחמה לעולם אינה חוזרת על עצמה, אינני יכול לחזות מה תהיה התנהלות המלחמה ומה יהיו בדיוק תוצאותיה. גם עם אינסוף מידע ואינסוף כוח חישוב, לעולם לא אוכל לחזות במדויק מה התוצאה מפני שהנתונים שלי לעולם יהיו עם שגיאה.

עד כאן, על קצה המזלג, על המשמעויות של התגלית של פואנקרה. אני מבטיח שעוד נחזור אליהן. אך קודם עלינו להכיר אדם אחר ותגלית אחרת – את אדוארד לורנץ ו"מושכים מוזרים".

התחזית למחר

השנה היא 1961 ואדוארד לורנץ, פרופסור למדעי מזג האוויר ב-MIT, עומד לשחק עם צעצוע חדש שהגיע לאוניברסיטה  – מחשב מתקדם במשקל טון וזיכרון של 9 קילו בייט. כן, קילו [מקור].

לורנץ עסק בשיפור החיזוי של מזג האוויר. מפני שמזג האוויר הוא מערכת מורכבת מאוד, הוא רצה תחילה – כמו פואנקרה – לנסות ולפשט את הבעיה. הוא התמקד בתנועה של אוויר באטמוספירה ופישט את המשוואות המתארות את התנועה הזו לשלוש משוואות דיפרנציאליות פשוטות, משוואות שמתארות את קצב השינוי במערכת. הסיבה שהוא התמקד דווקא בתנועת האוויר היא שמזג האוויר מושפע מאוד מהתנועה הזו. שינויים בלחץ מביאים לתנועה של האוויר, שמזיז עננים ומביא להיווצרות סופות. אם לורנץ יוכל לחזות כיצד האוויר ינוע באטמוספרה, הוא יעשה צעד משמעותי לצורך חיזוי מדויק יותר של מזג האוויר.

אז לורנץ ניסח מערכת של שלוש משוואות דיפרנציאליות והזין את המשוואות למחשב, הזין את הערכים ההתחלתיים מהם על המחשב להתחיל את החישוב ונתן למחשב לשרטט את מסלול המערכת לאורך זמן.

על אף שהמחשב היה המתקדם לדורו (בכל זאת 9 קילו בייט זיכרון!), החישוב היה איטי להחריד. לכן לאחר שחישוב אחד בוצע, חישוב ש"חזה" את מזג האוויר לפרק זמן של חודש, לורנץ החליט שאת החישוב השני יתחיל מאמצע החישוב הראשון – כך הוא יחסוך זמן חישוב. הוא הזין את המספרים של אמצע החישוב הקודם ונתן למחשב לרוץ.

כשחזר, לורנץ גילה להפתעתו שתוצאות המחשב בחישוב השני היו שונות משמעותית מהחישוב הראשון, לאותה נקודת זמן. כשבדק את התוצאות מקרוב לורנץ גילה שבעוד שלמחשב היה זיכרון של 6 ספרות, הוא הזין רק את 4 הספרות הראשונות לתחילת החישוב השני. כלומר במקום להזין את המספר 0.51675 הוא הזין 0.516, הבדל של פחות מעשירית האחוז. ובכל זאת ההבדל יצר הבדל דרמטי בתוצאות. לורנץ גילה שמזג האוויר, כמו בעיית שלושת הגופים של פואנקרה, היא מערכת כאוטית. היא רגישה מאוד לתנאי ההתחלה.

אך לורנץ לא עצר כאן. בניסיון בכל זאת להבין את התנהגות המערכת, הוא החליט לשרטט את מצבי המערכת ולראות האם יש דפוס כלשהו במעבר שלה ממצב אחד לאחר.

מצבי מערכת

מה הכוונה ב"מצב המערכת"?

דמיינו שאני מודד את עוצמת האור לאורך היום. העוצמה מתחילה מ-0, מהלילה, מטפסת לשיא בצהריים ואז יורדת שוב ל-0 עם שקיעת החמה. אני יכול לתאר את מצב המערכת ע"י שני נתונים: עוצמת האור והזמן בו נמדדה העוצמה הזו. כך במצב מספר אחד של המערכת הזמן הוא, נגיד, 5:00 בבוקר והעוצמה היא 0. במצב מספר שתיים הזמן הוא 5:01 בבוקר והעוצמה היא 0.01. מצב שלוש יהיה ב-5:02, מצב ארבע ב-5:02 וכן הלאה. כל מצב כזה, שהוא צירוף של זמן ועוצמת אור, אני יכול לתאר כנקודה והמערכת שלי נעה מנקודה לנקודה, ממצב אחד לאחר.

ע"י שרטוט של התנועה של המערכת, של המסלול שלה ממצב אחד לאחר, מנקודה לנקודה, לורנץ רצה לדעת מהן כל האפשרויות שיש למערכת לנוע בהן, גם אם הוא לא יוכל לחזות בדיוק מה תהיה התנועה של המערכת שלו (מזג האוויר בכדור הארץ). מה שהוא קיבל הוא אחת התמונות המפורסמות ביותר בתורת הכאוס: "מושך לורנץ". "מושך לורנץ" נראה כמו פרפר, או עיניים של ינשוף, או כמו הספרה "8" עקומה. "מושך לורנץ" מתאר תנועה של המערכת שהיא כמעט מחזורית, אך לא בדיוק. היא לעולם לא חוזרת לאותה נקודה בדיוק, אלא לנקודה קרובה אליה. לורנץ גילה את המושך המוזר הראשון.

1024px-lorenz_attractor_yb-svg
מושך לורנץ

מושכים

בשביל להבין את חשיבות התגלית של לורנץ, צריך להבין מהו בדיוק "מושך" ואילו סוגים יש.

בואו נחזור רגע למערכת שחשבנו עליה לפני מספר דקות – מדידה של עוצמת האור לאורך היום. אם אעקוב אחר מצב המערכת לאורך השבוע, אראה שהמערכת שלי היא מחזורית – העוצמה מתחילה מ-0 לפנות בוקר, עולה למקסימום בצהריים ויורד ל-0 בערב וחוזרת על עצמה. המסלול שהיא עושה הוא "מושך מחזורי".

מושך אחר הוא מושך סטטי. דמיינו שאתם משחררים גולה בקערה. לא משנה באיזה מיקום תשחררו את הגולה ולא משנה כמה פעמים היא תעלה ותרד בדפנות הקערה, היא לבסוף תיעצר בתחתית הקערה. תחתית הקערה היא מושך סטטי – לא משנה מה המצב הראשוני של הגולה, היא תגיע לבסוף אל התחתית. המצב בו הגולה נמצאת בתחתית הקערה עם 0 מהירות הוא "המושך הסטטי" של המערכת, שלא משנה איפה אשחרר את הגולה בקערה היא תגיע לבסוף אליו.

אז יש לנו מושך סטטי – מצב אחד אליו המערכת, לא משנה איפה היא מתחילה, תגיע אליו ויש לנו מושך מחזורי – אוסף מצבים שהמערכת תמשיך לנוע ביניהם.

האם "מושך לורנץ" הוא סטטי או מחזורי? לא זה ולא זה. ברור לנו שהוא לא סטטי – המערכת כל הזמן נעה בין מצבים ולא נשארת במצב אחד. אך הוא גם לא מושך מחזורי – המערכת לעולם לא חוזרת על אותו מצב. אז מהו מושך לורנץ? מושך מוזר.

למה מוזר? כי הוא דומה למושך מחזורי, אך הוא אינו מחזורי. המערכת נמצאת בתנועה, היא נעה בתוך מרחב מצבים מוגדר, אך היא אף פעם לא חוזרת לאותו מצב. המשמעות שמזג האוויר בסהרה לא לפתע יעבור דרך גשם שוטף, ברד וטורנדו. הוא ינוע בין חמסין לסופת חול, אך לעולם לא יחזור בדיוק לאותו מצב  – לאותה טמפרטורה, לאותה מהירות רוח ולאותה לחות. אני יודע מה האפשרויות של המערכת, אך אינני יודע בדיוק לאן היא תתקדם מהנקודה בה דגמתי אותה. מוזר, לא?

חיזוי סטטיסטי

מה החשיבות של התגלית של לורנץ? מה החשיבות שיש למערכות כאוטיות מושכים? מפני שהם מוכיחים שאפשר להעריך את התנהגות המערכת.

המושכים מוכיחים שמערכות כאוטיות הן לא מערכות רנדומאליות. חשוב לשים לב להבדל – מערכת רנדומאלית היא מערכת שמצב אחד שלה לא קשור למצב הקודם שלה. כמו הטלת מטבע – ההסתברות שיצא לי עץ או פלי לא קשורה להאם בהטלה הקודמת יצא לי עץ או פלי. מערכת כאוטית נשלטת ע"י משוואות וחוקים פיזיקליים. בניגוד למערכת רנדומאלית, המערכת הכאוטית נתונה בתבנית – למושך מוזר. ואת המושך המוזר אני יכול לנתח סטטיסטית.

נחזור לדוגמה של מזג האוויר: מפני שהמערכת שלי נתונה למושך לורנץ, אני יודע שהיא תעבור באזור של מצבים בהם יש גשם, באזור של מצבים בהם יש ברד, אזור של מצבים בהם יש שמיים נקיים וכן הלאה. אני לא יודע באיזה סדר המערכת תעבור בהם, אך אני יודע שהיא תעבור בהם, בכולם, מפני שהיא נתונה בתוך המושך המוזר. שוב, מזג האוויר בסהרה לא יכול לחרוג לסופת שלג. כך, למרות שאינני יכול לחזות מה יהיה מזג האוויר בינואר השנה, אני יכול לנתח את הנתונים שיש לי מינואר שנה שעברה ומינואר לפניו וכן הלאה, בשביל להעריך מה תהיה הטמפרטורה בינואר השנה. כלומר ניתוח סטטיסטי יכול לאפשר לי בכל זאת, גם במערכת כאוטית, לבצע חיזוי של העתיד.

את החשיבות של המושך אפשר להבין גם מכיוון אחר, דרך התייחסות ל"אפקט הפרפר". כולנו שמענו על "אפקט הפרפר": פרפר שמנפנף בכנפיו בברזיל יכול לגרום לטורנאדו בטקסס. לורנץ הוא שטבע את המונח לראשונה, בשביל להמחיש את הרעיון של רגישות לתנאי התחלה – התנודות שפרפר יוצר, יכולות להוביל לשינוי בהתנהגות המערכת. לכן לא ניתן לחזות במדויק את התנהגות מזג האוויר, משום שלעולם לא נדע אם איזה פרפר מתעופף לו עכשיו באמזונאס. אולם כבר לורנץ הדגיש שעל-אף שאיננו יכולים לחזות במדויק את התנהגות המערכת, משום שהיא פועלת בהתאם למושך היא ניתנת לחיזוי סטטיסטי. הפרפר אולי ישנה את התנועה של המערכת מגשם לשמש ואז ברד, אך הוא לא ישנה את הזמן בה המערכת נמצאת בכל תחום. אנחנו רואים את זה כל שנה – מזג האוויר לא חוזר על עצמו בדיוק, אך אנחנו יודעים שבחודשי החורף הטמפרטורות לרוב ירדו ובקיץ הן יעלו.

מושכים מוזרים נמצאים גם בגיאופוליטיקה. למען האמת, הניתוח שאנו מבצעים לאינטרסים הבסיסים של מדינה נותנים לנו להגדיר את המושך המוזר שלה. קחו את רוסיה לדוגמה – רוסיה נתונה תחת העובדות הגיאוגרפיות של יותר מדי מרחב שטוח מוקף במעט מדי מים חמים. המבנה הפוליטי של רוסיה משתנה מזמן לזמן – מצארות, לקומוניזם, לרפובליקה – והתנאים של המדינה הרוסית גם הם משתנים – לפעמים חזקה יותר, לפעמים חלשה יותר. אך לא משנה מי ישב במוסקבה, אם זה יהיה פוטין, מדבדב או קספרוב, הוא נתון לאמיתות הגיאוגרפיות האלו. הן מכתיבות את ההתנהגות שלו. וההתנהגות הזו היא של מושך מוזר – המדינה הרוסית חוזרת לדפוסים דומים, אך לא זהים. פוטין כמו יקתרינה או פטר הגדול מחפש להשיג בסיסים של מים חמים. כמו סטאלין הוא מעוניין במרחב אסטרטגי במזרח אירופה. ההתנהגות דומה, אך לא זהה, מה שאומר שאנו מוגבלים ביכולת החיזוי שלנו של מה יקרה מחר או מחרתיים, אך אנו כן יכולים לדעת מה הכיוון הכללי. המושך המוזר מאפשר לנו לעשות זאת.

סיכום

התחלנו מלהכיר את הגישה המכניסטית, גישה שרואה במערכות לא יותר מסכום האיברים שלהן. למדנו שתורת הכאוס מפריכה את האמונה המכניסטית ושגם מערכות שאין בהן שום רנדומאליות – תנועת הכוכבים, מזג האוויר – לא ניתנות לחיזוי מעבר לזמן מסויים (שבוע במקרה של מזג האוויר). למדנו גם שלמרות שאינני יכול לחזות בדיוק את המסלול של המערכת, אני יכול להעריך ע"י סטטיסטיקה של אירועי עבר באילו אזורים היא כנראה תעבור. אני גם יכול להבין את מרחב האפשרויות שלה, ע"י מציאת המושך המוזר שלה.

אולם גם הסטטיסטיקה מציגה סכנות משלה, סכנות שעלולות לייצר אפילו יותר נזק מטעות בהבנה שהמערכת בה אנו מתעסקים היא כאוטית. אך כל זאת – ועוד – בפרק הבא.

 


אפקטי קול – zapsplat.com

מוסיקה בפתיחה – Borrtex – Operation A

מוסיקה בסיום – John_Harrison_with_the_Wichita_State_University_Chamber_Players_-Spring Mvt 2 Largo

<span dir=rtl>תגובה אחת ל“כאוס”</span>

דעתך?

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת /  לשנות )

מתחבר ל-%s